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正五角形折った角度は?(渋谷教育学園渋谷中学 2012年)

公開日: : 受験算数, 平面図形, 角度

まず、正五角形の1つの角度が108°ということを利用して、下の図1のように

Pic_3116a

三角形ABC が二等辺三角形なので、

角BCA=(180-108)÷2=36°

角BPQ=108°なので、

角BPB’=(180-108)×2=144°

そこから、角B’PC=180-144=36°ということがわかります。

角B’PC = 角BCA = 36° ということから、

錯角が等しいので B’P とACが平行であることがわかり、

求める 角ア=角B’AC ということになります。(錯角)

点B’,C,D,E’ が同一円周上にあるので、頂点A と結ぶと下の図2のように、AB’,AC,AD,AE’が長さが等しくなり、

Pic_3117a

図形の対称性から、角ア=角B’AC=角E’AD となります。

また、AC=AD=BE=B’E’ なので、下の図3のように、

三角形AB’E’が正三角形ということがわかります。

Pic_3118a

ゆえに、求める角アの大きさは、角B’AE’=60°より、

(60-36)÷2=12°となります。

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